［本站(zhàn)訊］山東大學陳增敬教授、張國棟博士和國際著名經濟學家Larry Epstein合作(zuò)完成的論文“A central limit theorem, loss aversion and multi-armed bandits”發表于理(lǐ)論經濟學領域的頂級期刊Journal of Economic Theory（Volume 209, April 2023）。該成果發現并得到了(le)一(yī)類非線性正态分(fēn)布密度函數的顯示表達式，這是De Moivre、Gauss等數學家發現線性正态分(fēn)布（又稱高斯分(fēn)布）以來，首次發現的非線性正态分(fēn)布密度函數的顯示表達式。

在經濟學和機器(qì)強化(huà)學習中，能(néng)否給出非線性極限分(fēn)布的顯式表達式，一(yī)直是非線性極限定理(lǐ)研究的一(yī)個熱點問題。此文研究了(le)一(yī)族概率測度下(xià)具有方差不确定性的中心極限定理(lǐ)，在随機變量序列的條件均值不變，條件方差限制在一(yī)區間：

中變化(huà)的假設下(xià)，證明了(le)其極限分(fēn)布爲一(yī)類均值不變型非線性正态分(fēn)布，具有如(rú)下(xià)形式的顯式概率密度函數：

其中

是正态分(fēn)布 的概率密度函數。系數α和β的取值依賴于

和效用函數的凹凸性（分(fēn)布形态如(rú)下(xià)圖所示：）

特别地，當 時該非線性正态分(fēn)布退化(huà)爲正态分(fēn)布。

以該極限定理(lǐ)爲理(lǐ)論依據，本文進一(yī)步研究了(le)多臂機問題中具有損失厭惡 (loss aversion) 的決策者的漸近最優策略問題，這是多臂機問題中關于損失厭惡的首個研究。損失厭惡是諾貝爾經濟學獎獲得者Daniel Kahneman和美國科學院院士Amos Tversky在研究行爲經濟學中的展望理(lǐ)論時提出的一(yī)個著名概念。“S-型”效用函數是研究該問題的一(yī)項重要指标，本文研究了(le)決策者的累計收益在“S-型”效用函數下(xià)最大期望效用的漸近性質，并依托于上(shàng)述極限定理(lǐ)給出了(le)達到最大期望效用的漸近最優策略。

另一(yī)方面，在陳增敬教授和美國藝術與科學院院士Larry Epstein教授前期發表在Stochastic Processes and their Applications期刊的“A central limit theorem for sets of probability measures”一(yī)文中，他們還建立了(le)一(yī)族概率測度下(xià)具有均值不确定性的中心極限定理(lǐ)，在随機變量序列的條件方差不變，條件均值限制在一(yī)固定區間 中變化(huà)的假設下(xià)，證明了(le)其極限分(fēn)布爲一(yī)類方差不變型非線性正态分(fēn)布，具有如(rú)下(xià)形式的顯式概率密度函數：

其中 是準正态分(fēn)布函數。系數的取值依賴于 ，和效用函數的單調性，當k<0時，該非線性正态分(fēn)布呈針狀分(fēn)布形态；當k>0時，該非線性正态分(fēn)布呈雙峰分(fēn)布形态；當k=0時，該非線性正态分(fēn)布退化(huà)爲經典正态分(fēn)布。

該結果進一(yī)步完善了(le)關于不完備市(shì)場資産定價公式的相關理(lǐ)論，爲該公式的模拟計算(suàn)和實際應用提供了(le)理(lǐ)論支撐。

至此，陳增敬教授及其團隊從均值不确定性和方差不确定性兩個方面得到了(le)一(yī)系列的非線性中心極限定理(lǐ)。特别是對于某些(xiē)在經濟學和統計學等領域具有重要意義的函數，如(rú)“S-型”函數、示性函數等，給出了(le)其極限分(fēn)布的顯式表達式。相關結果不僅進一(yī)步完善了(le)非線性期望極限理(lǐ)論，更爲解決不确定環境下(xià)的經濟金(jīn)融、數理(lǐ)統計和強化(huà)學習等實際應用問題提供了(le)理(lǐ)論依據。

原文鏈接：https://doi.org/10.1016/j.jet.2023.105645

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