基于非線性最小二乘拟合的太陽影子(zǐ)定位
 
                                  山東大學   張林海_董昊宇_甄豔潔  指導教師劉保東
 

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摘要
    太陽影子(zǐ)定位是通過分(fēn)析視頻中物體太陽影子(zǐ)的變化(huà)來确定視頻拍攝地點和日期的一(yī)種方式。本文綜合分(fēn)析了(le)直杆影子(zǐ)與各個參數（被測物體所在經緯度、拍攝日期、杆長等）之間的函數關系，并且給出了(le)在已知若幹組時間與影長的對應關系的情況下(xià)，識别未知參數的方式。最終可根據在若幹個時間點影子(zǐ)的長度，求得直杆的杆長，所在經緯度以及測量的日期。
對于問題1：本文根據天體物理(lǐ)學及幾何光學的知識，用解析立體幾何的方式對經度、緯度、杆長、影長、日期和時間的關系進行分(fēn)析，得在日期、杆長和經緯度确定的情況下(xià)，直杆影長随時間變化(huà)的函數表達式，并求出在題目條件下(xià)天安門廣場直杆太陽影子(zǐ)的變化(huà)曲線（圖4）。同時，定性分(fēn)析了(le)影子(zǐ)長度關于各個參數的變化(huà)規律。
對于問題2及問題3：基于問題一(yī)的模型，已知若幹組影長和時間，求經緯度和日期可能(néng)的取值，屬于參數識别問題。本文選用  非線性最小二乘拟合 的方法識别參數，爲此需要确定參數向量的取值範圍及初始值。
在确定參數向量範圍時，爲降低(dī)時間複雜度，本文基于貪婪算(suàn)法的思想，采用由粗糙到精細的識别方式，先根據問題一(yī)的定性分(fēn)析以及相應數據确定參數較大範圍的取值空間；再用多項式拟合求出影長随時間變化(huà)的估計函數圖像，找到該地直杆最短影長與達到最短影長的時間，并通過對問題一(yī)模型的反解推導出大緻的經度值和杆長，根據此值縮小非線性最小二乘拟合的參數取值範圍，使算(suàn)法的時間複雜度約降低(dī)了(le)95%，并證明，該方法不會影響精度。在确定參數向量初始值時，爲了(le)得到更爲精确的解，采用遍曆算(suàn)法确定多個搜索的初始值并選擇最優解。
由此求得問題二的一(yī)組較爲精确的參數值爲杆長2.0259m，緯度19.3845°N，經度108.9554°E。求得問題三附件2的一(yī)組較爲精确的參數值爲杆長1.9794m，測量日期爲7月(yuè)(yuè)20日，測量地的經度爲79.6643°E，緯度爲39.5140°N；同樣求得附件3的一(yī)組較爲精确的參數值爲杆長2.1940m，測量日期爲1月(yuè)(yuè)19日，測量地的經度爲111.3003°E，緯度爲37.2433°N。
對于問題4：通過一(yī)系列假設和分(fēn)析，本文建立了(le)基于單目成像       的空間立體幾何模型，并建立适當的直角坐标系，推導出了(le)實際影長關于視頻中影子(zǐ)頂點坐标的函數表達式；并從視頻中截取圖片，得到了(le)一(yī)系列像素的點的坐标；最後，将像素點坐标應用于模型，得到一(yī)組近似的參數值爲：經度96.5776°E，緯度48.5775°N。
對于問題一(yī)模型的誤差分(fēn)析與優化(huà)，本文主要考慮了(le)由地球曲率以及一(yī)日内太陽直射點緯度值的變動造成的影響；對于模型二及模型三的誤差分(fēn)析與優化(huà)，本文主要考慮了(le)可用啓發式智能(néng)算(suàn)法進行求解以提高精确度。對于模型四的誤差分(fēn)析與優化(huà)，本文主要考慮了(le)信息提取技術水平高低(dī)以及參數識别方法帶來的影響。
 
 
關鍵詞  天體物理(lǐ)學 幾何光學 非線性最小二乘優化(huà) 貪婪算(suàn)法 單目成像原理(lǐ)
 
 
 
一(yī)、問題重述
太陽影子(zǐ)定位技術通過分(fēn)析視頻中物體在太陽下(xià)的影子(zǐ)變化(huà)，确定視頻拍攝地點與拍攝日期，可爲視頻數據分(fēn)析作(zuò)出重要作(zuò)用。  
本文需要解決的問題有：
(1) 建立影子(zǐ)長度随各個參數變化(huà)的模型，并分(fēn)析影子(zǐ)長度關于各個參數的變化(huà)規律，利用模型畫出2015年10月(yuè)(yuè)22日北京時間9:00-15:00之間天安門廣場（北緯39度54分(fēn)26秒(miǎo),東經116度23分(fēn)29秒(miǎo)）3米高的直杆的太陽影子(zǐ)長度的變化(huà)曲線。
(2) 已知某固定直杆在水平地面上(shàng)的太陽影子(zǐ)随時間變化(huà)的頂點的坐标數據及日期，建立數學模型确定直杆所處的若幹可能(néng)地點。
(3) 已知某固定直杆在水平地面上(shàng)的太陽影子(zǐ)随時間變化(huà)的頂點的坐标數據，建立數學模型确定直杆所處的若幹可能(néng)地點。
(4)有一(yī)根直杆在太陽下(xià)的影子(zǐ)變化(huà)的視頻，已知直杆的高度爲2米。建立數學模型确定視頻拍攝地點，并應用建立的模型給出若幹個可能(néng)的拍攝地點。判斷在拍攝日期未知的情況下(xià)，能(néng)否根據視頻确定出拍攝地點與日期。
 
 
二、模型假設
(1)由于太陽距離地球約爲150000000千米，地球的半徑約爲6371千米，地球上(shàng)任意兩點與太陽的連線的夾角趨于0°，所以可假設太陽光爲平行光。
(2)由于需要處理(lǐ)的影長數量級一(yī)般在100米，在此數量級上(shàng)地球的曲率不明顯，所以可以忽略地面的弧度，将其視爲一(yī)光滑的平面。
(3)由于太陽直射點緯度值一(yī)年内的變化(huà)範圍約爲47°，一(yī)天之内直射點緯度值的變化(huà)量約爲0.12°，所以忽略一(yī)天之内太陽直射點緯度的變化(huà)。
(4)由于空氣折射率約爲1.000277       ，所以可忽略太陽光線在大氣中的折射。
 
 

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• 基本符号說明

 
四、問題分(fēn)析及模型建立
5.1.1 問題一(yī)的分(fēn)析
由天體物理(lǐ)學以及幾何光學的相關知識可得，影響物體影子(zǐ)長度的主要參數有時間(年，月(yuè)(yuè)，日以及時，分(fēn)，秒(miǎo)），物體所處的地理(lǐ)位置（經度以及緯度）和物體本身(shēn)的形狀以及物體與地面間的幾何關系。       爲了(le)簡化(huà)模型，本文主要考慮垂直于地面的直杆的影子(zǐ)在不同參數下(xià)的變化(huà)規律。
5.1.2 問題一(yī)的模型建立